Οι διωνυμικοί συντελεστές καθορίζουν τον αριθμό των συνδυασμών που είναι δυνατοί κατά την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού αποτελεσμάτων από ένα σύνολο δεδομένου μεγέθους. Χρησιμοποιούνται στο θεώρημα του διωνύμου, το οποίο είναι μια μέθοδος επέκτασης ενός διωνύμου — μιας πολυωνυμικής συνάρτησης που περιέχει δύο όρους. Το τρίγωνο του Πασκάλ, για παράδειγμα, αποτελείται αποκλειστικά από διωνυμικούς συντελεστές.
Μαθηματικά, οι διωνυμικοί συντελεστές γράφονται ως δύο αριθμοί κάθετα ευθυγραμμισμένοι μέσα σε ένα σύνολο παρενθέσεων. Ο κορυφαίος αριθμός, που αντιπροσωπεύεται από “n”, είναι ο συνολικός αριθμός των δυνατοτήτων. Συνήθως αντιπροσωπεύεται από “r” ή “k”, ο κάτω αριθμός είναι ο αριθμός των μη ταξινομημένων αποτελεσμάτων που θα επιλεγούν από το “n”. Και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί και το “n” είναι μεγαλύτερο ή ίσο του “r”.
Ο διωνυμικός συντελεστής ή ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορεί να επιλεγεί το “r” από το “n”, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας παραγοντικά. Ένας παραγοντικός είναι ένας αριθμός επί του επόμενου μικρότερου αριθμού επί του επόμενου μικρότερου αριθμού και ούτω καθεξής μέχρι ο τύπος να φτάσει το ένα. Αντιπροσωπεύεται μαθηματικά ως n! = n(n – 1)(n – 2)…(1). Το μηδέν παραγοντικό είναι ίσο με ένα.
Για έναν διωνυμικό συντελεστή, ο τύπος είναι n παραγοντικός (n!) διαιρούμενος με το γινόμενο του (n – r)! φορές r!, που συνήθως μπορεί να μειωθεί. Αν το n είναι 5 και το r είναι 2, για παράδειγμα, ο τύπος είναι 5!/(5 – 2)!2! = (5*4*3*2*1)/((3*2*1)*(2*1)). Σε αυτήν την περίπτωση, το 3*2*1 είναι και στον αριθμητή και στον παρονομαστή, επομένως μπορεί να ακυρωθεί από το κλάσμα. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα (5*4)/(2*1), που ισούται με 10.
Το διωνυμικό θεώρημα είναι ένας τρόπος για τον υπολογισμό της επέκτασης μιας διωνυμικής συνάρτησης, που αντιπροσωπεύεται από (a + b)^n — a συν b στην ντη δύναμη. Τα a και b μπορούν να αποτελούνται από μεταβλητές, σταθερές ή και τα δύο. Για την επέκταση του διωνύμου, ο πρώτος όρος στην επέκταση είναι ο διωνυμικός συντελεστής n και 0 φορές a^n. Ο δεύτερος όρος είναι ο διωνυμικός συντελεστής n και 1 φορές a^(n-1)b. Κάθε επόμενος όρος της επέκτασης υπολογίζεται προσθέτοντας 1 στον κάτω αριθμό του διωνυμικού συντελεστή, αυξάνοντας το a στη δύναμη του n μείον αυτόν τον αριθμό και αυξάνοντας το b στη δύναμη αυτού του αριθμού, συνεχίζοντας έως ότου ο κατώτατος αριθμός του συντελεστή ισούται n.
Κάθε αριθμός στο τρίγωνο του Pascal είναι ένας διωνυμικός συντελεστής που μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για τους διωνυμικούς συντελεστές. Το τρίγωνο ξεκινά με το 1 στο πάνω σημείο και κάθε αριθμός σε μια κάτω σειρά μπορεί να υπολογιστεί προσθέτοντας μαζί τις δύο εγγραφές διαγώνια πάνω από αυτό. Το τρίγωνο του Πασκάλ έχει πολλές μοναδικές μαθηματικές ιδιότητες — εκτός από διωνυμικούς συντελεστές, περιέχει επίσης αριθμούς Fibonacci και εικονικούς αριθμούς.