Η εικασία του Πουανκαρέ είναι μια από τις πιο σημαντικές εικασίες στα σύγχρονα μαθηματικά, και αυτή τη στιγμή έχει αποδειχθεί επαρκώς σε σημείο που θεωρείται πλήρες θεώρημα. Είναι ένα από τα επτά προβλήματα του Millennium Prize, που δηλώθηκαν από το Clay Mathematics Institute το 2000. Μέχρι σήμερα, είναι το μόνο από τα προβλήματα του Millennium Prize που έχει λυθεί και η επίλυσή του θεωρήθηκε ως μία από τις πιο σημαντικές ανακαλύψεις του νέα χιλιετία.
Στις αρχές του 20ου αιώνα, ένας Γάλλος μαθηματικός, ο Henri Poincaré, άρχισε να θέτει αυτό που θα χρησίμευε ως βάση για το μαθηματικό πεδίο της τοπολογίας. Μία από τις κύριες επικεντρώσεις του ήταν στις ιδιότητες των σφαιρών και ξόδεψε μεγάλη προσοχή και ενέργεια για να σκιαγραφήσει τη σφαίρα. Έθεσε μια σειρά από ερωτήσεις, αλλά η πιο γνωστή διατυπώθηκε ως εξής: «Σκεφτείτε μια συμπαγή τρισδιάστατη πολλαπλή V χωρίς όριο. Είναι δυνατόν η θεμελιώδης ομάδα του V να είναι ασήμαντη, παρόλο που το V δεν είναι ομοιομορφικό στην τρισδιάστατη σφαίρα;» Αν και ποτέ δεν έκανε μια συγκεκριμένη δήλωση με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αυτό θα ονομαζόταν εικασία του Πουανκαρέ.
Η πιο κοινή μορφή της εικασίας του Πουανκαρέ είναι απλά: Κάθε απλά συνδεδεμένη, κλειστή 3 πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική με την 3-σφαίρα. Η εικασία του Πουανκαρέ γενικεύτηκε επίσης σε διαστάσεις πάνω από τρεις, της μορφής n-σφαίρα. Αν και αρχικά θεωρήθηκε ότι η ίδια η εικασία του Πουανκαρέ θα ήταν αληθινή, θεωρήθηκε ότι η Γενικευμένη Εικασία του Πουανκαρέ θα αποδεικνυόταν ψευδής. Ήταν λοιπόν έκπληξη όταν η Γενικευμένη Εικασία Πουανκαρέ αποδείχθηκε για διαστάσεις μεγαλύτερες από τέσσερις το 1961 και στη συνέχεια το 1982, όταν η περίπτωση των 4 σφαιρών αποδείχθηκε αληθινή.
Το 1982 ο Ρίτσαρντ Χάμιλτον έδειξε ότι η εικασία του Πουανκαρέ ήταν αληθινή σε μια σειρά από εξειδικευμένες περιπτώσεις, αλλά δεν μπόρεσε να την αποδείξει γενικότερα. Το 2000 το Clay Mathematics Institute συμπεριέλαβε την Εικασία Πουανκαρέ στα Προβλήματα του Βραβείου Χιλιετίας, προσφέροντας ένα βραβείο 1,000,000 δολαρίων ΗΠΑ (USD) για μια λύση που αποδείχθηκε ικανοποιητικά. Το 2002 και το 2003 ο μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν δημοσίευσε δύο εργασίες που περιείχαν ένα σκίτσο για την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ.
Το 2006, ορισμένες ομάδες εργασίας συμπλήρωσαν μικρά τυχαία κενά στο έργο του Πέρελμαν και ο Τζον Μόργκαν και ο Γκάνγκ Τιάν το έγραψαν ως λεπτομερή απόδειξη. Τελικά το επέκτεισαν σε ένα βιβλίο για την Εικασία του Πουανκαρέ και το 2006 ο Μόργκαν δήλωσε ότι ο Πέρελμαν είχε λύσει το πρόβλημα το 2003. Για το έργο του, ο Πέρελμαν τιμήθηκε με το μετάλλιο Fields, αλλά το αρνήθηκε. Παρόλο που έλυσε τεχνικά και το Βραβείο Millennium, και επομένως δικαιούται να λάβει το 1 εκατομμύριο δολάρια ΗΠΑ, δεν έχει κάνει τα απαραίτητα βήματα για να διεκδικήσει το βραβείο.
Η επίλυση της εικασίας του Πουανκαρέ θεωρήθηκε ως μια μεγάλη ανακάλυψη στα μαθηματικά και μια από τις πιο σημαντικές αποδείξεις της νέας χιλιετίας. Στα τέλη του 2006, το περιοδικό Science ονόμασε τη λύση της εικασίας του Πουανκαρέ ως Επιστημονική Ανακάλυψη της Χρονιάς. Αυτή ήταν η πρώτη φορά που η τιμή απονεμήθηκε ποτέ σε μια σημαντική ανακάλυψη στα καθαρά μαθηματικά.